发散级数小问题怎么用阿贝尔求和或切萨罗和算出1+1+1+……=-1/21-1+1-1+……=1/21+2+3+4+……=-1/12我看定义有点看不懂不过回答不解释也不要紧做不出来也留个脚印吧，免得我55分白费了

Question

发散级数小问题
怎么用阿贝尔求和或切萨罗和算出
1+1+1+……=-1/2
1-1+1-1+……=1/2
1+2+3+4+……=-1/12
我看定义有点看不懂
不过回答不解释也不要紧
做不出来也留个脚印吧，免得我55分白费了

Answer 1

Abel有个定理：如果f(x)的收敛半径为r且在r处收敛,则lim(x->r-)f(x)=f(r).如果这个级数不收敛,人们为了使这个和有意义,就还设它等于f(r).
用你举的例子：1+x+...+x^n+...=1/(1-x),虽然它在x=-1时发散,但用上面的思想,把1-1+1-1+……的值可以设为1/(1-(-1))=1/2.
Cesaro求和不好写,你看看M.Kline的《古今数学思想》第47章吧.
你说的欧拉和我不清楚是Euler-Maclaurin求和,还是求和中的Euler变换.后者是关于交错级数的,可能问的是前者.这个就是一个求渐进级数的方法,大概就是用积分来估计求和,然后把余项相应的用Bernoulli数表示.
你问的问题都很难不用数学符号打出来,还是看看书的好,可以看看Hardy的《发散级数》,另外,Watson和Whittaker的《现代分析教程》也有这方面的内容.