用克拉默定理证明：n次多项式最多有n个互不相等的根

Question

用克拉默定理证明：n次多项式最多有n个互不相等的根

Answer 1

设n次多项式f(x) = a[0]+a[1]x+...+a[n]x^n.
用反证法,假设f(x)有n+1个互不相等的根x[1],x[2],...,x[n+1].
则有n+1个等式:
a[0]+a[1]x[1]+...+a[n]x[1]^n = 0,
a[0]+a[1]x[2]+...+a[n]x[2]^n = 0,
...
a[0]+a[1]x[n+1]+...+a[n]x[n+1]^n = 0.
它们构成关于a[0],a[1],...,a[n]的齐次线性方程组.
其系数行列式:
1 x[1] ...x[1]^n
1 x[2] ...x[2]^n
...
1 x[n+1] ...x[n+1]^n
为Vandermonde行列式,取值非零(x[1],x[2],...,x[n+1]两两不等).
由Cramer法则,方程组只有零解,故f(x)为零多项式,矛盾.
因此n次多项式至多有n个互不相等的根.