某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvnT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中

Question

某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为E=cvⁿT，其中v为进行时相对于水的速度，T为行进时的时间（单位：h），c为常数，n为能量次级数，如果水的速度为4km/h，该生物探测器在水中逆流行进200km．
（1）求T关于v的函数关系式；
（2）①当能量次级数为2时，求探测器消耗的最少能量；
②当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．

Answer 1

（1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为(200)/(T)，
又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小于4km/h，即为v-4，
则(200)/(T)=v-4，即T=(200)/(v-4)，（v>4）；
（2）①当能量次级数为2时，由（1）知，v>4，
E=200c•(v2)/(v-4)=200c•([(v-4)+4]2)/(v-4)=200c•[（v-4）+(16)/(v-4)+8]
≥200c[2√((v-4)•(16)/(v-4))+8]=3200c，当且仅当v-4=(16)/(v-4)，即v=8km/h时取等号，
②当能量次级数为3时，由（1）知，E=200c•(v3)/(v-4)，v>4，
则E′=200c•(2v2(v-6))/((v-4)2)，由E′=0，解得v=6，
即当v<6时，E′<0，
当v>6时，E′>0，即当v=6时，函数E取得最小值为E=21600C．