设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则11+an+11+bn的最小值为（）A.12B.22C.1D.2

Question

设n为自然数，a、b为正实数，且满足a+b=2，则(1)/(1+an)+(1)/(1+bn)的最小值为（　　）
A. (1)/(2)
B. (√(2))/(2)
C. 1
D. √(2)

Answer 1

(1)/(1+an)+(1)/(1+bn)=(an+bn+2)/((1+an)(1+bn))=1-((ab)n−1)/((1+an)(1+bn))
要使(1)/(1+an)+(1)/(1+bn)取得最小值，则((ab)n−1)/((1+an)(1+bn))取得最大值
∵a、b为正实数，a+b=2，a+b≥2√(ab)，∴0＜ab≤1
∵n为自然数，∴（ab）ⁿ-1≤1-1=0
当且仅当（ab）ⁿ=1时，（ab）ⁿ-1取得最大值0
∴a=b=1时，原式有最小值1．
故选C．