如图所示，AB段为一半径R=0.2m的光滑14圆形轨道，EF为一倾角为30°的光滑斜面，斜面上有一质量为0.1kg的薄木板CD，木板的下端D离斜面底端的距离为15m，开始时木板被锁定．一质量也为0.1kg的

Question

如图所示，AB段为一半径R=0.2m的光滑(1)/(4)圆形轨道，EF为一倾角为30°的光滑斜面，斜面上有一质量为0.1kg的薄木板CD，木板的下端D离斜面底端的距离为15m，开始时木板被锁定．一质量也为0.1kg的物块从A点由静止开始下滑，通过B点后被水平抛出，经过一段时间后恰好以平行于薄木板的方向滑上木板，在物块滑上木板的同时木板解除锁定．已知物块与薄木板间的动摩擦因数为μ=(√(3))/(6)．取g=10m/s²，求：
（1）物块到达B点时对圆形轨道的压力大小；
（2）物块做平抛运动的时间；
（3）若下滑过程中某时刻物块和木板达到共同速度，则这个速度为多大？

Answer 1

（1）物块从A到B的过程中机械能守恒，得：mgR＝(1)/(2)m

v

2 B

得：vB＝√(2gR)＝√(2×0.2×10)m/s＝2m/s
物块到达B受重力G和向上的弹力F作用，由牛顿第二定律知：
F−mg＝(mv2B)/(R)
得：F＝mg+(mv2B)/(R)＝0.1×10+(0.1×22)/(0.2)＝3N
由牛顿第三定律可知，物块到达B点时对圆形轨道的压力大小等于物块受到的支持力，即3N，方向竖直向下．
（2）设物块离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点时竖直方向的分速度是v_y，则：
(vy)/(vx)＝(vy)/(vB)＝tan30°
所以：vy＝vB•tan30°＝(2√(3))/(3)m/s
又：v_y=gt₁
所以：t1＝(vy)/(g)＝(2√(3))/(30)s
（3）物块到达C时的合速度：v＝√(v2y+v2B)＝√(((2√(3))/(3))2+22)m/s＝(4√(3))/(3)m/s
到达C点后物块受到重力、支持力和摩擦力的作用，沿斜面方向：
ma₁=mgsin30°-μmgcos30°
代入数据得：a1＝2.5m/s2，方向沿斜面向下；
此时木板沿斜面的方向：Ma₂=Mgsin30°+μmgcos30°
代入数据得：a2＝7.5m/s2，方向沿斜面向下；
设经过时间t₂二者的速度相等，则：v+a₁t₂=a₂t₂
联立方程，代入数据得：t2＝(v)/(a2−a1)＝((4√(3))/(3))/(7.5−2.5)＝(4√(3))/(15)s≈0.462s
二者的共同速度：v_共=a₂t₂=7.5×0.462m/s=3.465m/s
该过程中木板的位移：s＝(1)/(2)a2

t

2 2

＝(1)/(2)×7.5×0.4622m≈0.8m＜15m
即二者达到共同速度时，木板没有滑动底端．
答：（1）物块到达B点时对圆形轨道的压力大小是3N；
（2）物块做平抛运动的时间是(2√(3))/(30)s；
（3）若下滑过程中某时刻物块和木板达到共同速度，则这个速度为3.465m/s．