如图：ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.（1）求证：四边形AECG是平行四边形.（2）若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF

Question

如图：ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上.设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点.
（1）求证：四边形AECG是平行四边形.
（2）若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF的长.
还有一个
若AB 3cm BC长为多少时，四边形AECG是菱形

Answer 1

（1）
证明：
∵矩形ABCD中
AD=BC ∠D=∠B=90° AB‖CD
∴∠DCA=∠CAB
又∵三角形AGH由三角形ADG折叠而得
∴AD=AH GH⊥AC ∠GHA=90°
同理 BC=CF EF⊥AC ∠EFC=90°
∴AH=CF
∴AF=CH
∴在三角形AFE与三角形CHG中
∠FAE=∠HCG
CH=AF
∠AFE=∠CHG
∴三角形AFE≌三角形CHG（ASA）
∴AE=CG
∴四边形AECG为平行四边形
（2）在三角形ABC中
AB=4cm BC=3cm
由勾股定理得 AC=5cm
∵由（1）得
CH=BC=3cm
EF=BE
∴AF=2cm
设EF为Xcm
则AE为(4-X)cm
2的平方+x的平方=(4-x)的平方
x=1.5
即EF为1.5cm
(3)
当平行四边形AECG为菱形时
AE=CE
即三角形AEC为等腰三角形
∵EF⊥AG
∴EF为三角形ACE中AC边上的中线
即AF=FC=二分之一的AC
设BC为y cm
则AC=2y cm
(2y)的平方=3平方+y的平方
y1=根号3 y2=-根号3（舍去）
∴BC=根号3cm