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如图,在Rt△ABC中,/ACB=90°,AC=8,BC=6,点E是AB边上一动点,过点E作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折,点A落在线段AB上的F处,连接FC,当△BCF为等腰三角形时,AE的长为.

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如图,在Rt△ABC中,/ACB=90°,AC=8,BC=6,点E是AB边上一动点,过点E作DE⊥AB交AC边于点D,将∠A沿直线DE翻折,点A落在线段AB上的F处,连接FC,当△BCF为等腰三角形时,AE的长为___.
作业搜
▼优质解答
答案和解析
由翻折变换的性质得:AE=EF,
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=
82+62
=10,
设AE=EF=x,则BF=10-2x;
分三种情况讨论:
①当BF=BC时,10-2x=6,
解得:x=2,
∴AE=2;
②当BF=CF时,F在BC的垂直平分线上,
∴F为AB的中点,
∴AF=BF,
∴x+x=10-2x,
解得:x=
5
2

∴AE=
5
2

③当CF=BC时,作CG⊥AB于G,如图所示:
作业搜则BG=FG=
1
2
BF,
根据射影定理得:BC2=BG•AB,
∴BG=
BC2
AB
=
62
10
=
18
5

1
2
(10-2x)=
18
5

解得:x=
7
5

∴AE=
7
5

综上所述:当△BCF为等腰三角形时,AE的长为:2或
5
2
7
5

故答案为:2或
5
2
7
5
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