本征值及简并问题我知道本征值问题的数学形式是Ax=ax(a称为本征值)也就是说一个算符他作用在向量上,其效果只改变向量的长度而不改变它的方向.我有几个问题1)对於任意的算符A,总存

Question

本征值及简并问题
我知道本征值问题的数学形式是
A x = a x (a 称为本征值)
也就是说一个算符他作用在向量上,其效果只改变向量的长度而不改变它的方向.我有几个问题
1) 对於任意的算符A,总存在这样的向量满足上面的式子吗?
2) 上面的式子应该怎样读?我的意思是,怎样理解A与x的关系?能说成属於A的本征向量x吗?
3) 有些书上说本征向量可以用来展开一个空间,这是甚麼意思,展开甚麼空间?
4) 如果不同的本征值对应同一个本征向量（简并）那麼,这两个本征向量的线性组合及其它非简并的本征向量构成一个子空间?这怎麼理解?
请不会的不要回答浪费时间，也不要copy网上长篇大论的回答。
2 楼的，我还是不太明白问题1)及3)。我刚在网上找到，如果A不可逆，则本征值问题不成立，这样说不是任意的A都有本征值及本征向量？
对於 3)，你没有说清楚这个是甚麼子空间？这个子空间跟A有甚麼关系？

Answer 1

1)在复数域上是的,虽然应用中A多数都是可逆的,但不可逆的也有本征值,只不过本征值中有0,例如{{1,0},{0,0}}有本征值1,对应本征矢量{1,0}'
2)可以这么理解.
3)可能是这个意思
A x1=a1 x1
A x2=a2 x2
A(λx1+μx2)=a1λx1+a2μx2
λx1+μx2为不变子空间
子空间定义与A是无关的,不要说是本征矢量了,任意若干个向量的线性组合都是一个子空间.
不变子空间定义：
设A:V->V是线性变换,U是V的子空间,如果对任意x∈U,有A(x)∈U,则U称为A的不变子空间.也就是说这个特殊的子空间是对应A的.
我想书上的意思可能是要讨论由本征矢量展成的空间的性质,比如可逆变换的所有本征矢量展成的就是空间本身,而不可逆变换的本征矢量展成的子空间比原空间维数低（似乎都是废话.)
4)简并是指不同本征矢量对应一个本征值,同3)