级数1/n发散的意义是什么?它也是一个渐衰级数吧?为什么1/n^2就收敛而它却发散呢?不要只给证明过程,麻烦解释一下这两个级数呈现不同敛散性的本质原因是什么?

Question

级数1/n发散的意义是什么?它也是一个渐衰级数吧?为什么1/n^2就收敛而它却发散呢?不要只给证明过程,麻烦解释一下这两个级数呈现不同敛散性的本质原因是什么?

Answer 1

首先对于p-级数∑1/n^p有很好的性质：p≤1时发散,p>1时收敛.对于这种形式的级数,其是否收敛完全取决于一般项趋于0的速度,一般项趋于0的速度越快级数越有可能收敛,例如1/n^2比1/n趋于0的速度快（即n趋于无穷时1/n^2是比1/n更高阶的无穷小）,因此p=1就是一个临界点,因为任何比1大的p都是收敛的,即调和级数∑1/n是p-级数中发散速度最慢的级数,事实上你可以自己计算一下调和级数的前几项,它的增长速度是非常慢的,以至于直观上观察这个数列的前几项都想象不出增长如此慢的级数竟然会是发散的.另外关于调和级数还可以多说一点就是,它和对数函数lnx有着相同的阶,即lim(1+1/2+...+1/n-lnn)存在,这个极限称为欧拉常数,记作c=lim(1+1/2+...+1/n-lnn),c约等于0.5772,关于这个欧拉常数c是否是无理数,至今无人能给出证明,这是一个“未解之谜”.