如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC=60°，求：（1）BC⊥平面MAC；（2）MC与平面CAB所成角的正弦值．

Question

如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC=60°，
求：（1）BC⊥平面MAC；
（2）MC与平面CAB所成角的正弦值．

Answer 1

（1）∵Rt△BMC中，斜边BM=5，
∴BC⊥MC，
∵BM在平面ABC上的射影AB长为4，
∴MA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴BC⊥MA，
又MA∩MC=M，
∴BC⊥平面MAC．
（2）∵MA⊥平面ABC，∴∠MCA是MC与平面CAB所成角，
∵BM=5，AB=4，∠MBC=60°，
∴MA=3，BC=(5)/(2)，MC=(5)/(2)√(3)，
∴sin∠MCA=(MA)/(MC)=(3)/((5)/(2)√(3))=(2√(3))/(5)．
∴MC与平面CAB所成角的正弦值为(2√(3))/(5)．