某种电子玩具按下按健后，会出现红球和绿球．已知按键第一按下后，出现红球和绿球的概率都是12，从按键第二按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分

Question

某种电子玩具按下按健后，会出现红球和绿球．已知按键第一按下后，出现红球和绿球的概率都是 (1)/(2) ，从按键第二按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是 (1)/(3) 、 (2)/(3) ；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别是 (3)/(5) 、 (2)/(5) ．记第n（n∈N*）次按下按键后出现红球的概率为p _n ．
（1）求p ₂ ；
（2）n≥2时，求p _n ．

Answer 1

（1）根据题意，p ₂ 即第2次按下按键后出现红球的概率，
其包括第一次出现红球与绿球2种情况；
则 p 2 =(1)/(2) ×(1)/(3) +(1)/(2) ×(3)/(5) =(7)/(15) ．
（2）依题意，n≥2时， p n =(1)/(3) p n-1 +(3)/(5) (1- p n )=(3)/(5) -(4)/(15) p n-1 ，
设常数λ∈R，使 p n -λ=-(4)/(15) ( p n-1 -λ) ，即 p n =(19)/(15) λ-(4)/(15) p n-1 ，解 (19)/(15) λ=(3)/(5) 得 λ=(9)/(19) ，
所以 { p n -(9)/(19) } 是首项为 p 1 -(9)/(19) =(1)/(38) ，公比为 -(4)/(15) 的等比数列，
所以 p n -(9)/(19) =(1)/(38) ×(-(4)/(15) ) n-1 ，
解得 p n =(1)/(38) [18+(-(4)/(15) ) n-1 ] ．