已知点P是双曲线C：x23-y26=1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则PA•PB等于（）A．23

Question

已知点P是双曲线C： (x2)/(3) - (y2)/(6) =1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则

PA

•

PB

等于（　　）

A． (2)/(3)

B．- (2)/(3)

C．0

D．1

Answer 1

由条件可知：两条渐近线分别为l ₁ ：

2

x-y=0，l ₂ ：

2

x+y=0
设双曲线C上的点P（x ₀ ，y ₀ ），则点P到两条渐近线的距离分别为|

 PA

|= (|2x0 - y0 |)/(3) ，
|

 PB

|= (|2x0 + y0 |)/(3) ，所以|

 PA

||

 PB

|= (|2x0 - y0 |)/(3) × (|2x0 + y0 |)/(3) =| (2x20-y20)/(3) |
因为P（x ₀ ，y ₀ ）在双曲线C上，所以 (x20)/(3) -(y20)/(6) =1 ，即2x

20

-y

20

=6
故|

 PA

||

 PB

|=2
设

 PA

与

 PB

的夹角为θ，得cosθ= (1)/(3) ，
则

PA

•

PB

= (2)/(3) ．
故选A．