间断函数：在其定义区间里面,包含一个振荡间断点,其一定存在原函数吗?

Question

间断函数：在其定义区间里面,包含一个振荡间断点,其一定存在原函数吗?

Answer 1

我刚才找到两个例子,似乎说明原函数不一定存在.
正例: 


显然 f(x) 在 x = 0 处有振荡间断点,(用定义)容易验证 F'(0) = f(0),即 f(x) 有原函数 F(x).


反例:

同上,除 x = 0 这一点之外,在任意一点 x 处均满足F'(x) = f(x),但(用定义可以验证) F(x) 在 x = 0 处不可微,所以在包含0的区间上, f(x) 没有原函数.


如果需要,我可以把这几个函数的图像画出来.