用配方法将下列二次型化为标准形f（x1，x2，…，x2n）=x1x2n+x2x2n-1+…+xnxn+1．

Question

用配方法将下列二次型化为标准形f（x₁，x₂，…，x_2n）=x₁x_2n+x₂x_2n-1+…+x_nx_n+1．

Answer 1

令

x1=y1-y2n，x2=y2-y2n-1，…，xn=yn-yn-1

x2n=y1+y2n，x2n-1=y2+y2n-1，…，xn+1=yn+yn+1

则   f（x₁，x₂，…，x_2n）=x₁x_2n+x₂x_2n-1+…+x_nx_n+1
=（y₁-y_2n）（y₁+y_2n）+（y₂-y_2n-1）（y₂+y_2n-1）+…+（y_n-y_n+1）（y_n+y_n+1）
=y12+…+yn2-yn+12-…-y2n2
所以得解．