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(2005•恩施州)路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一,全线共有隧道37座,共计长达742421.2米.下图是正在修建的庙垭隧道的截面,截面是由一抛物线和一矩形构成,其行车道CD总宽

题目详情
(2005•恩施州)路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一,全线共有隧道37座,共计长达742421.2米.下图是正在修建的庙垭隧道的截面,截面是由一抛物线和一矩形构成,其行车道CD总宽度为8米,隧道为单行线2车道.
(1)建立恰当的平面直角坐标系,并求出隧道拱抛物线的解析式;
(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯,在(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置;
(3)为了保证行车安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米.现有一辆汽车,装载货物后,其宽度为4米,车载货物的顶部与路面的距离为2.5米,该车能否通过这个隧道?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图,若以EF所在直线为x轴,经过H且垂直于EF的直线为y轴,建立平面直角坐标系,
则E(-5,0),F(5,0),H(0,3)
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c
依题意有:
25a+5b+c=0
25a−5b+c=0
c=3

解之
a=−
3
25
b=0
c=3

所以y=
3
25
x2+3

(2)y=1,路灯的位置为(
5
3
6
,1)或(-
5
3
6
,1).(只要写一个即可)

(3)当x=4时,y=
3
25
×42+3=1.08,点到地面的距离为1.08+2=3.08
因为3.08-0.5=2.58>2.5,所以能通过.
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