集合论,我去,用康托尔对角话方法不是也会得出有理数集也不可数吗?(将有理数不是写成分数而是十进制小数形式),高手帮忙看看我哪里弄错了

Question

集合论,我去,用康托尔对角话方法不是也会得出有理数集也不可数吗?(将有理数不是写成分数而是十进制小数形式),高手帮忙看看我哪里弄错了

Answer 1

这是有不同之处的,对于(0,1]内的有理数,用十进制的方式排成一列,t1,t2,tn,其中ti=0.ti1ti2...tin...,然后做小数t=0.a1a2,an,使得ai≠tii,你指的是这种方法吧.注意在证明实数集不可数时,我们构造小数t=0.a1a2,an,是没有问题的,这个小数t一定是属于(0,1]的实数,但是只考虑有理数时则未必!因为有理数包括有限小数和无限循环小数,而我们构造的t未必属于两种小数,还可能是无限不循环小数,即t可能是无理数!无理数自然不会出现在有理数列中,因此小数t不属于t1,tn,这个有理数列是完全有可能的,这样证明不了有理数不可数.