如图是建筑工地上常用的一种“深坑打夯机”示意图，固定底座放在地面上，夯杆从固定底座上、下两个孔中穿过，这样夯杆在底座的约束下只能上下运动，电动机带动滚轮匀速转动

Question

如图是建筑工地上常用的一种“深坑打夯机”示意图，固定底座放在地面上，夯杆从固定底座上、下两个孔中穿过，这样夯杆在底座的约束下只能上下运动，电动机带动滚轮匀速转动，将夯杆从深坑中竖直提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，滚轮与夯杆分离，将杆释放，夯杆在自身重力作用下落回深坑，夯实坑底；然后滚轮再次压紧，夯杆提上来，如此周而复始。已知滚轮边缘线速度恒为v= 4 m /s，滚轮对夯杆的正压力F _n =4×10 ⁴ N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数约为μ=0.3，夯杆质量m=1× 10 ³ kg ，坑深h= 6.4 m 。假定在打夯过程中坑的深度不发生变化，在任何情形之下杆都不会脱离固定底座的约束，不计固定底座与夯杆之间的摩擦力，取g= 10 m /s ² 。求：

(1)每个打夯周期中电动机对夯杆所做的功。

(2)每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量。

(3)打夯周期。

Answer 1

(1)W=7.2×10 ⁴ J (2)Q=4.8×10 ⁴ J

(3)T=4.2 s

解析：(1)杆在上升过程中，经历了三个运动阶段：①加速上升阶段，轮与杆之间发生相对滑动，杆受到滑动摩擦力；②夯杆匀速上升阶段，此过程中轮的边缘线速度等于杆的运动速度，轮与杆之间无相对滑动，杆受到静摩擦力，静摩擦力与重力平衡；③轮与杆分离后，杆做竖直上抛运动，杆只受重力，此时电动机对它不做功。

加速上升阶段加速度a=

上升高度h ₁ =

电动机做的功W ₁ =μF _N h ₁

夯杆匀速上升阶段，上升高度h ₂ =h-h ₁

电动机做的功W ₂ =mgh ₂

故每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功W=W ₁ +W ₂ =7.2×10 ⁴ J

(2)夯杆加速上升的时间t ₁ = =2 s

相对位移是L=vt ₁ -h ₁ = 4 m

因摩擦产生的热量Q=μF _N L=4.8×10 ⁴ J

(3)夯杆匀速上升的时间是t ₂ = =0.6 s

设夯杆做竖直上抛运动再落到坑底的时间是t ₃ ，则：

-h=vt ₃ -

解得：t ₃ =1.6 s

即得打夯周期T=t ₁ +t ₂ +t ₃ =4.2 s