如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速运转将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身的重

Question

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速运转将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身的重力作用下，落回深坑夯实坑底．然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮的半径为R=40cm，角速度ω=10rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴ N，滚轮与夯杆的动摩擦因数µ=0.3，夯杆质量m=1×10³ kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度不变，且夯杆底端刚到坑口时，速度恰好为零．取g=10m/s²，√(2)＝1.4．求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为多大；此时夯杆底端离坑底多高；
（2）每次打夯的周期为多少．

Answer 1

（1）根据牛顿第二定律得，2f-mg=ma
解得a=(2f−mg)/(m)＝(2×0.3×2×104−1×104)/(1×103)m/s2=2m/s²．
设夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为v，
根据h=(v2)/(2a)+(v2)/(2g)，解得v=(8√(3))/(3)m/s．
因为滚轮的线速度v=Rω=4m/s＜(8√(3))/(3)m/s．
所以夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s．
释放后继续上升的高度h1＝(v2)/(2g)＝0.8m．
则夯杆释放时距离底端的高度h₂=h-h₁=6.4-0.8m=5.6m
（2）夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．
向上匀加速直线运动的时间t1＝(v)/(a)＝(4)/(2)s＝2s，匀减速直线运动的时间t3＝(v)/(g)＝0.4s
匀减速直线运动的位移h3＝(v2)/(2g)＝(16)/(20)m＝0.8m
则匀速直线运动的位移h₂=h-h₁-h₃=6.4-4-0.8m=1.6m
则匀速运动的时间t2＝(h2)/(v)＝(1.6)/(4)s＝0.4s．
自由落体运动阶段h＝(1)/(2)gt42，解得t4＝

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