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位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线斜率为0,在点(2,2)处的切线斜率为1.已知曲线上任一点处的曲率半径与y及(1+y′2)的乘积成正比.求该曲线方程.
题目详情
位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0,1)处的切线斜率为0,在点(2,2)处的切线斜率为1.已知曲线上任一点处的曲率半径与
及(1+y′2)的乘积成正比.求该曲线方程.
y |
▼优质解答
答案和解析
因为y=y(x)是位于上半平面向上凹的曲线,
所以y≥0,y″>0,
从而,其在点(x,y(x))处的曲率半径为:
R=
=
.
利用已知条件可得,
=k
(1+(y′)2),其中k>0为一个固定常数.
整理可得,
=
.①
令p=
,
则y″=
•
=p
,
从而由①可得,
=
所以y≥0,y″>0,
从而,其在点(x,y(x))处的曲率半径为:
R=
(1+(y′)2)
| ||
|y″| |
(1+(y′)2)
| ||
y″ |
利用已知条件可得,
(1+(y′)2)
| ||
y″ |
y |
整理可得,
y″ | ||
|
1 | ||
k
|
令p=
dy |
dx |
则y″=
dp |
dy |
dy |
dx |
dp |
dy |
从而由①可得,
p
| ||
|
1 | |
k
|
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