艾尔多斯-莫德尔几何不等式

Question

艾尔多斯-莫德尔几何不等式

Answer 1

设P为△ABC内任一点(包括边界),点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3,则：
PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3).
此不等式由近代数学家Erdos于1935年提出,当时未能给予证明,时隔两年,到了1937年才由Mordell利用三角函数给出了证明.
设f（x) = + + - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc)
= - 2(ycosa + zcosc)x + (y?+ - 2yzcosb)
则△ = 4(ycosa + zcosc) - 4(y?+ - 2yzcosb)
= - 4 [ ( 1 - cosa?) + ( 1 - cos?c ) - 2yzcosacosc + 2yzcos ( a + c ) ]
= - 4(y?sin?a + sin?g - 2yzsinasing)
= - 4(ysina - zsing)?≤0
∴f( )≥0,即不等式
设x、y、z R,且a+b+c=л,则永远有x?+y?+z?≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立.
可证得如下的几何不等式：设P为△ABC内任一点(包括边界),∠APB、∠PBC、∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3,则PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)；∠CPA的平分线与边AB、BC、CA分别相交于E1、E2、E3,则
PA＋PB＋PC≥2(PE1＋PE2＋PE3)