如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．(1)若，问该船有无触礁危险？如果没

Question

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的北偏东α角，前进4km后在B处测得该岛北偏东β角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．
(1)若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？
(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？

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Answer 1

【分析】(1)作MC⊥AB，垂足为C，利用直角三角形中的边角关系，求得MC=23.5，所以该船有触礁的危险，设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则MD=3.5，求出CD=0.5，可得BD=1.5，即该船自B向东航行1.5km会有触礁危险
(2)设CM=x，在ΔMAB中，由正弦定理求得BM的值，据x=BM•sin∠MBC 求得 x=，故当当x>3.5，即时，该船没有触礁危险．

(1)作MC⊥AB，垂足为C.
因为α=60°，β=30°，
所以∠ABM=120°，∠AMB=30°，
所以BM=AB=4，∠MBC=60°，
所以，所以该船有触礁的危险．
设该船自B向东航行至点D有触礁危险，
则MD=3.5.
ΔMBC中，BM=4，BC=2，，，
所以BD=1.5(km)，
所以该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．
(2)设CM=x.
在ΔMAB中，由正弦定理得，，
即，.
而，
所以，当x>3.5，即时，该船没有触礁危险．

【点评】本题考查直角三角形中的边角关系，正弦定理的应用，确定MC的长度，是解题的关键和难点．