如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平粗糙直杆上，现给环一个向右的初速度v0，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F=kv（k为常数，v为

Question

如图所示，一个质量为m的圆环套在一根固定的水平粗糙直杆上，现给环一个向右的初速度v₀，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力F的作用，已知力F的大小F=kv（k为常数，v为环的运动速度），物体的动能与速度的关系为：Ek＝(1)/(2)mv2，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功（假设杆足够长）可能为（　　）

A．(1)/(2)m

v

2 0

B．0
C．(1)/(2)m

v

2 0

−(m3g2)/(2k2)
D．(1)/(2)m

v

2 0

+(m3g2)/(2k2)

Answer 1

根据题意关于小环的运动状态，根据环受竖直向上的拉力F与重力mg的大小分以下三种情况讨论：
（1）当mg=kv₀时，即v₀=(mg)/(k)时，环做匀速运动，摩擦力为零，W_f=0，环克服摩擦力所做的功为零；
（2）当mg＞kv₀时，即v₀＜(mg)/(k)时，环在运动过程中做减速运动，直至静止．由动能定理得环克服摩擦力所做的功为W_f=(1)/(2)m

v

2 0

；
（3）当mg＜kv₀时，即v₀＞(mg)/(k)时，环在运动过程中先做减速运动，当速度减小至满足mg=kv时，即v=(mg)/(k)时环开始做匀速运动．由动能定理得摩擦力做的功
W_f=(1)/(2)mv²-(1)/(2)m

v

2 0

=(m3g2)/(2k2)−(1)/(2)m

v

2 0

，即环克服摩擦力所做的功为 (1)/(2)m

v

2 0

−(m3g2)/(2k2)．
故选ABC．