如图所示，倾角为θ的固定粗糙斜面上有一物块A，物块到斜面底端的高度为h，紧靠斜面底端有一长为L的长木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端刚好与长木板上表面左端接触，长木板上表

Question

如图所示，倾角为θ的固定粗糙斜面上有一物块A，物块到斜面底端的高度为h，紧靠斜面底端有一长为L的长木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端刚好与长木板上表面左端接触，长木板上表面粗糙，右端与一四分之一圆弧面C粘接在一起，圆弧面左端与木板平滑相接，现释放物块A让其从斜面上滑下．圆弧面表面光滑，圆弧面的半径为R，物块与斜面长木板表面的动摩擦因数均为μ，A、B、C三者的质量相等，重力加速度大小为g，不计物块A从斜面滑上木板时的机械能损失．

（1）求物块A到达斜面底端时的速度大小v；
（2）改变物块A有静止释放的位置，要使物块A能滑上圆弧面C，求其开始下滑时到斜面底端的高度h₁需满足的条件；
（3）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，求其开始下滑时到斜面底端的高度h₂．

Answer 1

（1）物块A在斜面上下滑的过程，由动能定理得：
mgh-μmgcosθ•(h)/(sinθ)=(1)/(2)mv²-0
解得：v=√(2gh-(2μgh)/(tanθ))
（2）当物块A从到斜面底端的高度为h₀时开始下滑，滑到长木板右端时，恰好与圆弧槽、长木板的速度相同，此种情况下，与（1）同理可得，物块A到达斜面底端时的速度大小为：
v₁=√(2gh0-(2μgh0)/(tanθ))．
设物块A滑到长木板右端时速度大小为v₁′，取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₁=3mv₁′．
由功能关系有：μmgL=(1)/(2)mv₁²-(1)/(2)•3mv₁′²．
解得：h₀=(3μLtanθ)/(2(tanθ-μ))
故h₁需满足的条件是：h₁>(3μLtanθ)/(2(tanθ-μ))．
（3）若物块A恰能滑到圆弧面C的最高点，则物块A滑到圆弧槽的最高点时物块与圆弧槽、长木板具有共同速度，此种情况下，物体A到达斜面底端时的速度大小为：
v₂=√(2gh2-(2μgh2)/(tanθ))
设物块滑到圆弧面C的最高点时的速度为v₃．根据动量守恒定律得：
mv₂=3mv₃．
由功能关系有：μmgL=(1)/(2)mv₂²-(1)/(2)•3mv₃²-mgR
解得：h₂=(3(μL+R)tanθ)/(2(tanθ-μ))
答：（1）物块A到达斜面底端时的速度大小v是√(2gh-(2μgh)/(tanθ))；
（2）改变物块A有静止释放的位置，要使物块A能滑上圆弧面C，其开始下滑时到斜面底端的高度h₁需满足的条件是 h₁>(3μLtanθ)/(2(tanθ-μ))；
（3）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，其开始下滑时到斜面底端的高度h₂是(3(μL+R)tanθ)/(2(tanθ-μ))．