M枚正、次品硬币取、掷统计问题袋中装有M枚硬币,其中正品硬币p（未知）枚、次品硬币M－p(次品硬币两面均印有国徽),每次从袋中有放回地任取一枚硬币,并将投掷2次,则出现国徽的次数为0、

Question

M枚正、次品硬币取、掷统计问题
袋中装有M枚硬币,其中正品硬币p（未知）枚、次品硬币M－p(次品硬币两面均印有国徽),每次从袋中有放回地任取一枚硬币,并将投掷2次,则出现国徽的次数为0、1或2,现取硬币n次,每次国徽次数为0、1、2的次数记为n0、n1、n2,则p的极大似然估计是什么?

Answer 1

记取正品事件为A,取次品事件为A^,掷2次出国徽次数为0、1、2的事件为B0、B1、B2
则：P(A)=p/M,P(B0|A)=1/4 P(B1|A)=1/2 P(B2|A)=1/4
P(A^)=1-p/M P(B0|A^)=0 P(B1|A^)=0 P(B2|A^)=1
P(B0)=p/M*1/4 +(1-p/M)*0=p/(4M)
P(B1)=p/(2M)
P(B2)=p/M*1/4 +(1-p/M)*1=1-3p/(4M)
根据样本取值情况,使似然函数取最大值的p,就是p的极大似然估计.