(20分)质量为m的一簇离子在P点以同一速度v向不同方向散开(如图)。垂直纸面的均匀磁场B将这些离子聚焦于R点,距离PR=2a,离子的轨道应是对称的。
( 20 分)质量为 m 的一簇离子在 P 点以同一速度 v 向不同方向散开(如图)。垂直纸面的均匀磁场 B 将这些离子聚焦于 R 点,距离 PR = 2 a ,离子的轨道应是对称的。试确定磁场区的边界。
解析 :在磁场 B 中,作用于电量为 Q 、速度为 v 的质点上的洛仑兹力为 QvB 。结果使粒子在半径为 r 的圆轨道上运动,即:
质量为 m 的所有粒子都在半径为 的相同的圆轨道上运动。离开磁场后,它们将沿最后的切线方向直线飞行。磁场边界应按所有离子都打在同一点 R 的要求去寻找。要解决的数学问题是,粒子应从这些半径为 r 的圆的何处离开,才能使它们的切线在 R 点相交。这些半径为 r 的圆的圆心都位于 y 轴上(如图 1 所示)
在半径为 r 的圆轨道上运动的粒子,在坐标为( x , y )的 A 点离开磁场,沿切线飞向 R 。由相似三角形得到:
圆的方程为
消去( y - b ),得到满足条件的 A 点的集合,因此,表示磁场边界的函数为:
这是一个四次函数。只要在第一象限画出这个函数的曲线,把它对 y 轴反演即可。
表示磁场边界的函数的形式取决于给定的距离 a 和半径 r 的相对大小(见图 2 ( a ),( b ),( c ))。
如果半径 r 小于 a (小速度强磁场),则磁场边界无限延伸,向任何方向出发的离子也都能聚焦 ① 。
如果半径 r 等于 a ,所有的离子也都能聚焦 ② 。磁场边界在 P 和 R 点处垂直出发,处在有限的范围内。
如果半径 r 大于 a ,边界更为平坦。那些出发方向比 P 点切线更陡的离子不能达到 R 点。
(注: ① 原文“向任何方向出的离子都能聚焦”的结论不妥。在 r < a 时, v 与 x 轴夹角大于 90 0 的离子无法聚焦。 ② 在 r = a 时,“所有的离子也都能聚焦” 的结论也不妥。 v 与 x 轴夹角大于 90 0 的离子也无法聚焦。)
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