x→0,limcotx(1/sinx-1/x)=?,求算法

Question

x→0,limcotx(1/sinx-1/x)=?,求算法

Answer 1

注意到0/0型用洛必达法则,等价无穷小x->0,sinx~x,limcosx=1于是原式=x->0lim(cosx/sinx)(x-sinx)/(xsinx)=x->0lim(1/sinx)(x-sinx)/(xsinx)=x->0lim(x-sinx)/(xsinx^2)=x->0lim(x-sinx)/(x^3)=x->0lim(1-cosx)/(3x^2)=x->0limsinx/(6x)=x->0limx/(6x)=1/6.