x→0时f(x)/x的极限等于1,怎么就能得出f(0)=0,且在零点的导数等于1?希望能讲解得尽量详细些.

Question

x→0时f(x)/x的极限等于1,怎么就能得出f(0)=0,且在零点的导数等于1?希望能讲解得尽量详细些.

Answer 1

　　由于
　　　　lim(x→0)[f(x)/x] = 1,（*）
应有
　　　　lim(x→0)f(x) = 0
（否则,（*）将不成立）,故可补充定义
　　　　f(0) = 0,
则函数在 x=0 连续,且
　　　　lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x = 1,
即
　f'(0) = 1.