对于函数f(x)=(ax+1)/(x-1),其中a为实数,x不等于1,给出下列命题（1）、a=1时,f(x)在定义域上为单调函数（2）、f(x)的图像关于点(1,a)对称.（3）、对任意a属于R,f(x)都不是奇函数a=-1时,f(x)为偶函数

Question

对于函数f(x)=(ax+1)/(x-1) ,其中a为实数,x不等于1,给出下列命题
（1）、 a=1时,f(x)在定义域上为单调函数 （2）、f(x)的图像关于点(1,a)对称.（3）、对任意a属于R,f(x)都不是奇函数 a=-1时,f(x)为偶函数 （4）、当a=2时,满足条件2＜x1＜x2,总有f（x1）-f（x2）＜3（x2-x1）

Answer 1

解
（1）、 a=1时,f(x) = (x+1)/(x-1) = 1+ 2/(x-1)
y = 2/(x-1) 在其定义域的两个区间均为减函数,因此 f(x)单调减.
2）、f(x)的图像关于点(1,a)对称,即要证 f(1+x) + f(1-x) = 2a
f(1+x) = (a(x+1)+1)/x
f(1-x) = (a(1-x)+1)/(-x)
f(1+x) + f(1-x) = (a(x+1)+1)/x - (a(1-x)+1)/x = 2a
3）、对任意a属于R,f(x)都不是奇函数
奇函数相对原点对称,而该函数相对（1,a）以称,所以不是奇函数.
想算一下也行：证f(x) +f(-x)不恒为0即可.
证：f(x) + f(-x) = (ax+1)/(x-1) + (-ax+1)/(-x-1) = (2ax*2 +2) /(x*2-1)
上式分母不为0,分子不恒为0.
4）、当a=2时,满足条件2＜x1＜x2,总有f（x1）-f（x2）＜3（x2-x1）
当a=2时,f(x) = (2x+1)/(x-1) = 2+ 3/(x-1)
对于2＜x1＜x2,
f（x1）-f（x2）= 3/(x1-1) -3/(x2-1) = 3 (x2-x1) / [(x1-1)(x2-1)] ＜3（x2-x1）