如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为

Question

如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=-x²+2（0≤x≤√(2)）的图象，且点M到边OA距离为t((2)/(3)≤t≤(4)/(3))．
（1）当t=(2)/(3)时，求直路l所在的直线方程；
（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？

Answer 1

（I）∵y=-x²+2，∴y′=-2x，
∴过点M（t，-t²+2）的切线的斜率为-2t，
所以，过点M的切线方程为y-（-t²+2）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+2，
当t=(2)/(3)时，切线l的方程为y=-(4)/(3)x+(22)/(9)，
即当t=(2)/(3)时，直路l所在的直线方程为12x+9y-22=0；
（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=-2tx+t²+2，
令y=2，得x=(t)/(2)，故切线l与线段AB交点为F（(t)/(2)，2），
令y=0，得x=(t)/(2)+(1)/(t)，故切线l与线段OC交点为（(t)/(2)+(1)/(t)，0）．
地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，

则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=(1)/(2)（2-(t)/(2)−(1)/(t)+2−(t)/(2)）×2=4-t-(1)/(t)=4-（t+(1)/(t)）≤2．当且仅当t=1时，取等号．
∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为20000平方米．