一个三角形的三边长分别为3,4,5,P为该三角形内一点,求P到这三角形三边距离积的最大值

Question

一个三角形的三边长分别为3,4,5,P为该三角形内一点,求P到这三角形三边距离积的最大值

Answer 1

设三角形AOB为RT三角形,OA=3,0B=4,BC=5,则角AOB=90度,以OA、OB为x轴和y轴建立直角坐标系.设点P（m,n),过P做坐标轴的垂线,AB方程为x/3+y/4=1
则P到三边距离积为
mn(3/5)(4-4m/3-n)=(9/20)*(4m/3)n(4-4m/3-n)
<=(9/20)(4m/3+n+4-4m/3-n)^3/27 (均值不等式）
=(9/20)*64/27
=16/15
当且仅当4m/3=n=4-4m/3-n即m=1,n=4/3时有最大值16/15