一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出

Question

一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是两条直角边分别是1和2的两个全等的直角三角形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）请画出这个三棱锥的直观图，并求出它的体积；
（Ⅱ）以D为顶点，DD₁，DA，DC为相邻的三条棱，作
平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知点E在AA₁上移动
（1）当E点为AA₁的中点时，证明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一点P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P点的位置
（Ⅲ）AE为何值时，二面角C-ED₁-D的大小为45°．

Answer 1

（Ⅰ）该三棱锥的直观图是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，
如图所示的三棱锥D₁-ACD其中底面ACD是直角边长为1的直角三角形，高DD₁=2，故所求的体积是V＝(1)/(3)×12×2×(1)/(2)＝(1)/(3)；
（Ⅱ）（1）当E点为AA₁的中点时，以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立直角坐标系如图，则B（1，1，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），E（1，0，1）

BE

＝(0，−1，1)，

B1E

＝(0，−1，−1)，

C1E

＝(−1，1，1)

BE

•

B1E

＝0，

BE

•

C1E

＝0
所以BE⊥B₁E且BE⊥C₁E，所以BE⊥平面B₁C₁E．
（2）可知当A₁E=PC时，有AD₁∥BC₁，BE∥PD₁所以平面BC₁E∥平面PAD₁
注：也可以求两个平面的法向