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设向量组α1=（1,1,1,3）^T,α2=（-1,-3,5,1）^T,α3=（3,2,-1,p+2）^T,α4=（-2,-6,10,p）^T,问:p为何值时向量组线性无关?p为何值时向量组线性相关?并求出它的秩和一个极大无关组.
题目详情
设向量组α1=（1,1,1,3）^T,α2=（-1,-3,5,1）^T,α3=（3,2,-1,p+2）^T,α4=（-2,-6,10,p）^T,问:p为何值时向量组线性无关?p为何值时向量组线性相关?并求出它的秩和一个极大无关组.
▼优质解答
答案和解析
(α1,α2,α3,α4)=
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
r4-r1-r2-r3, r2-r1,r3-r1
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 6 -4 12
0 0 p-2 p-2
r3+3r2
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 p-2 p-2
r4+(1/7)(p-2)r3
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 0 p-2
所以p≠2时线性无关
p=2时向量组线性相关, 且秩为3, α1,α2,α3是一个极大无关组
1 -1 3 -2
1 -3 2 -6
1 5 -1 10
3 1 p+2 p
r4-r1-r2-r3, r2-r1,r3-r1
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 6 -4 12
0 0 p-2 p-2
r3+3r2
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 p-2 p-2
r4+(1/7)(p-2)r3
1 -1 3 -2
0 -2 -1 -4
0 0 -7 0
0 0 0 p-2
所以p≠2时线性无关
p=2时向量组线性相关, 且秩为3, α1,α2,α3是一个极大无关组
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