秩是什么东东?为什么秩大的可以线性表示秩小的呢?或者说可以被线性表示的,其秩必为小,如何形象理解?

Question

秩是什么东东?为什么秩大的可以线性表示秩小的呢?或者说可以被线性表示的,其秩必为小,如何形象理解?

Answer 1

　　首先你说错一点,秩大的不一定可以表示秩小的.反过来正确,可以被表示的秩一定小（或相等）.
　　一组向量的秩就是这一组向量张成的子空间的维度.
　　例如一组向量的秩是2,说明它们在同一平面内,但是不在一条直线上.这个平面称为由这一组向量张成的平面,一定可以从这组向量中挑出两个充当坐标轴,构成平面坐标系,表示出这个平面内的所有向量.如果另一组向量可以被表示,说明它们都在这个平面内,所以它们的秩一定小于等于2.为什么说秩大的不一定可以表示秩小的呢?很明显,如果另一组向量不在这个平面内,即使秩比较小,也无法被表出.例如(1,0,0) (0,1,0)的秩是2,(0,0,1) (0,0,2)的秩是1,但无法用前者线性表出.
　　类似地：
　　一组向量的秩是3,意思是它们张成一个3维空间,可以从中选出3个向量构成3维坐标系.
　　……
　　一组向量的秩是N,意思是它们张成一个N维空间,可以从中选出N个向量构成N维坐标系.
　　人的想象力只能达到3维,再往上就没法直观形象地把握,但是道理是一样的.