万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为

Question

万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F₀
a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F₁，求比值(F1)/(F0)的表达式，并就h=1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F₂，求比值(F2)/(F0)的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r、太阳的半径为R_s和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？

Answer 1

（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
F0＝G(Mm)/(R2)   ①
F1＝G(Mm)/((R+h)2)   ②
由公式①②可以得出：
(F1)/(F0)＝((R)/(R+h))2=0.98．
F2＝G(Mm)/(R2)−mω2R＝G(Mm)/(R2)−m(4π2)/(T2)R   ③
由①和③可得：(F2)/(F0)＝1−(4π2R3)/(T2GM)

（2）根据万有引力定律，有G(Mm)/(r2)＝m(4π2)/(T2)r
T＝√((4π2r3)/(GM))
又因为M＝ρV＝ρ•(4)/(3)πRs3，
解得T＝√((3π)/(Gρ)•(r3)/(R3s))
从上式可知，当公转周期和太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变．
答：（1）(F1)/(F0)＝((R)/(R+h))2=0.98．比值(F2)/(F0)＝1−(4π2R3)/(T2GM)
（2）地球公转周期不变．仍然为1年．