用电子秤称10个小球,其中有一个是不合格的至少要称多少次

Question

用电子秤称10个小球,其中有一个是不合格的至少要称多少次

Answer 1

用天平称小球大家都做过不少,这里有一个另类的,用电子秤.
有15个小球,除了一个重量不同,其他都相同.
用电子秤,4次称量,告诉我异常球是谁,而且重量是多少.
在看题解之前,也请各位读者先思考一下.因为好题难得呀!
在写题解的时候,我还把我的思考过程向大家分享一下.
把小球编号1-15.
①我一开始是想着把小球分三堆(1-5)(6-10)(11-15) 并且称3次.那么可以找出那一堆有异常球还有重量,不过剩下的1次称不出究竟哪个是异常球.
②接着我想把球分成四堆（1-4）（5-8）（9-12）（13-15）还是称3次.也可以找出有异常球的那一堆和重量.不过还是剩下的一次称不出.
所以,否定了称3次来获得异常球和重量这种思路.
称1次固然不能说明什么,所以开始考虑称2次能得到什么.
①（1-8）（9-15）或者是（1-7）（8-14）（15）是称2次的首要分法,我也很多人也曾考虑过的一种分法.不过这种分法的弊端是,在没有知道异常球是重还是轻之前,无法确定异常球在哪一堆,也无法在剩下2次内处理7或8个球.
所以,到此,可以获得一个思路.要弄“重叠”.
①（1-10）（6-15）这是从（1-5）（6-10）（11-15）改进过来的一种做法.不过可惜的是,剩下2次的机会依然无法处理至少5个小球.
②（1-8）（4-12）（13-15）这是从（1-4）（5-8）（9-12）（13-15）改进过来的一种做法.很有可能这种分发是可行的.我们来讨论一下.
讨论：
①（1-8）=（4-12）排除（1-4）（9-12）剩下（5-8）和（13-15）.一开始我是想第三次称“（13-15）+其他小球的”这种做法,不过后来觉得就算让我知道了异常球在“13-15”内,也无法在剩下1次机会中找出（13-15）的哪一个异常球.所以否定掉这种做法.因此,要把（13-15）继续拆开.同理,也要把（5-8）继续拆开.
（13-15）=（13-14)+（15） （5-8）=（5-6）+（7-8）或者（5-8）=（5）+（6-8）
对于（5-8）=（5）+（6-8）这种分法,后来发现在（6-8）这一边无法在1次内确定.所以去掉.
所以采用（13-15）=（13-14)+（15） （5-8）=（5-6）+（7-8）剩下的2次机会分成.
（13-14）+（5-6）或者是（15）+（7-8）均可了.
为了方便,我只讨论（13-14）+（5-6）这种情况.设异常球重量为a,其他球为x.若异常球在（13-14）+（5-6）内.
①若异常球在（5-6）内.
则（4-12）=（1-8）=7x+a （13-14）+（5-6）=3x+a Q=[（4-12）-（（13-14）+（5-6））]/4=x
a=（3x+a）-3Q,a=（7x+a）-7Q.
如果说异常球在（13-14）内的话 那么（4-12）=（1-8）=8x,（13-14）+（5-6）=3x+a
Q=[（4-12）-（（13-14）+（5-6））]/4=[8x-3x-a]/4=(5x-a)/4
(3x+a)-3Q和(7x+a)-7Q算出来的数不一样.
我的意思是说,如果实际情况是异常球在（13-14）的话,而我们假设异常球在（5-6）的话,算出来的a是不一样的呀.
异常球在（5-6）内,第四次称5或者6就可以了.
其余情况一样的啦.