二阶线性常系数非齐次方程的y''+py'+qy=Pn(x)e^αx的特解中的Qn(x)怎么确定,书上说是x的n次多项式,可我看每道题里面的都不一样,请问这个怎么确定,（还有另外一种带三角函数的形式里面也有这

Question

二阶线性常系数非齐次方程的y''+py'+qy=Pn(x)e^αx的特解中的Qn(x)怎么确定,书上说是x的n次多项式,可我看每道题里面的都不一样,请问这个怎么确定,（还有另外一种带三角函数的形式里面也有这样的东西,）我是自学的,麻烦讲仔细点,懂了另加分.
我就是看书的，我知道要根据与特征根的关系来求，但求出来之后的那个式子里面的Pn(x)如何确定

Answer 1

首先是把齐次方程的特征方程的根先求出来
也就是r^2+pr+q=0的根算出来,包括复数根也求出来
然后你看Pn(x)e^αx中的α是否是特征方程的根
1,如果不是就假设特解为Qn(x)e^αx
2,如果是特征方程的单根就假设特解为x*Qn(x)e^αx
3,如果是特征方程的重根就假设特解为x^2*Qn(x)e^αx
然后把你假设的特解带入非齐次方程y''+py'+qy=Pn(x)e^αx中
确定Qn(x)中的系数,比如Q(x)是一个3次的多项式,那我就假设Q(x)=b3x^3+b2x^2+b1x+b0
根据待定系数法,带入方程,一个一个把b0,b1,b2,b3都求出来!
注:Qn(x)和Pn(x)都是n次多项式