（2011•桂林）如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）A．4+233πaB．8+433

Question

（2011•桂林）如图，将边长为a的正六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径的长为（　　）


A．(4+2√(3))/(3)πa
B．(8+4√(3))/(3)πa
C．(4+√(3))/(3)πa
D．(4+2√(3))/(6)πa

Answer 1

连A₁A₅，A₁A₄，A₁A₃，作A₆C⊥A₁A₅，如图，

∵六边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆为正六边形，
∴A₁A₄=2a，∠A₁A₆A₅=120°，
∴∠CA₁A₆=30°，
∴A₆C=(1)/(2)a，A₁C=(√(3))/(2)a，
∴A₁A₅=A₁A₃=√(3)a，
当A₁第一次滚动到图2位置时，顶点A₁所经过的路径分别是以A₆，A₅，A₄，A₃，A₂为圆心，
以a，√(3)a，2a，√(3)a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A₁所经过的路径的长=(60•π•a)/(180)+(60•π•√(3)a)/(180)+(60•π•2a)/(180)+(60•π•√(3)a)/(180)+(60•π•a)/(180)，
=(4+2√(3))/(3)πa．
故选A．