椭圆x2/a2+y2/b2=1的右焦点F（c,0）关于直线y=bx/c的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是？

Question

椭圆x2 /a2+ y2 /b2= 1的右焦点F（c,0） 关于直线y=bx/c的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是？

Answer 1

因y=bx/c垂直平分FQ，故直线FQ斜率为-c/b。且已知点F(c，0)，故直线FQ方程为
y=-cx/b+(c^2)/b
与直线y=bx/c交点为M(c^3/[b^2+c^2], bc^2/[b^2+c^2])
因Q与F关于点M对称，所以Q坐标（[c^3-cb^2]/[b^2+c^2], 2bc^2/[b^2+c^2]）
因b^2+c^2=a^2, c=ea
所以[c^3-cb^2]/[b^2+c^2]=c[c^2-(a^2-c^2)]/(a^2)=c[(2c^2/a^2)-1]=(2e^2-1)c
2bc^2/[b^2+c^2]=2be^2
又Q在椭圆上，所以
(2e^2-1)^2*c^2/(a^2)+(2b)^2*e^4/(b^2)=1
即(2e^2-1)^2*e^2+4e^4=1
令t=e^2（1t（2t-1）^2+4t^2-1=0
4t^3+t-1=0(尝试可知t=1/2是一个根)
(t-1/2)(4t^2+2t+2)=0
因4t^2+2t+2>0
所以t=1/2
e=sqrt(2)/2