（2011•丰台区一模）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点（1，32）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存

Question

（2011•丰台区一模）已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为(1)/(2)，对称轴为坐标轴，且经过点（1，(3)/(2)）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与椭圆E相交于A，B两点，在OA上存在一点M，OB上存在一点N，使得

MA

＝(1)/(2)

AB

，若原点O在以MN为直径的圆上，求直线斜率k的值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，可设椭圆E的方程为 (x)/(a2)2+(y)/(b2)2＝1(a＞b＞0)，
∵(c)/(a)=(1)/(2)，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵椭圆经过点（1，(3)/(2)），
∴椭圆的方程为  (x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）记A、B 两点坐标分别为A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），

y＝kx−2

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

 消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞(1)/(4)，
由韦达定理 x1 +x2＝(16k)/(4k2+3)，x1x2＝(4)/(4k2+3)，∵原点O在以MN为直径的圆上，
∴OM⊥ON，即

OM

•

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