椭圆的一个光学性质为:光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点

Question

椭圆的一个光学性质为:光线由一个焦点射出经椭圆壁反射后必然经过另一个焦点

Answer 1

方程 x^2/a^2+y^2/b^2=1 证明：
①假设椭圆x?/a?+ /b?= 1 有任一点M(x,y),M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角,则满足光的反射定律,下面证明这两个夹角相等.
②因为法线与该点切线垂直,故此,先求切线斜率：
（要用到微分的知识）
对x?/a?+ /b?= 1 两端微分：
2x dx/a?+ 2y dy/b?= 0
dy/dx = - x/a?y
这是切线的斜率,法线与切线垂直,所以法线斜率k=a?y/b?x .
③将x-o-y平面看成是复平面,则法线N上单位复数表示为n,如果F1M上的单位复数是L1,直线F2M上的单位复数是L2,根据复数相乘规则,复数角度相加：
L1 * L2 ---（如果L1的角度是α,L2的角度是β,L1 *L2的角度 = α + β）
---（如果n的角度是γ,则n?的角度就是2γ）
先在法线N上截取一个复数（模大小不影响方向）:N=b?x + y.i
=(b?x + y.i)?
=b^4 * - a^4 * + 2a?xy.i
=[(b^4 * + ) - ] - [a^4 * + ] + + 2a?xy.i ---- 配项
=b?(b?+ ) - - (a?+ ) + + 2a?xy.i
=b?*a?- - *a?+ + 2a?xy.i
/a?= -a?+ (x?-y?+ 2xy.i)
=(x + y.i)?-c?
=(x + y.i + c)(x + y.i -c)
点M的复数表示是 x + y.i,x + y.i -c 代表矢量F1M,x + y.i + c代表矢量F2M
因此 /a?= K * L1 * L2 （K是实数）
法线单位矢量 = L1 * L2
2γ = α + β
γ = (α + β)/2
法线是∠F1MF2的角平分线.