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(2012•浦东新区一模)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上

题目详情
(2012•浦东新区一模)世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地,如图点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上,已知∠ACB=60°且|AC|=30米,|AM|=x,x∈[10,20].
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为
37k
S
,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为
12k
S
(k为正常数),求总造价T关于S的函数T=f(S);试问如何选取|AM|的长使总造价T最低(不要求求出最低造价).
▼优质解答
答案和解析
(1)在Rt△PMC中,显然|MC|=30-x,∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=
3
(30-x),…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=
3
x(30-x),x∈[10,20]…4分
于是200
3
≤S≤225
3
为所求.…6分
(2)矩形AMPN健身场地造价T1=37k
S
 …7分
又△ABC的面积为450
3
,即草坪造价T2=
12k
S
(450
3
−S)…8分
由总造价T=T1+T2,∴T=25k(
S
+
216
3
S
),200
3
≤S≤225
3
.…10分
∴T=25k(
S
+
216
3
S
),200
3
≤S≤225
3

S
+
216
3
S
≥12
3
,…11分
当且仅当
S
=
216
3
S
即S=216
3
时等号成立,…12分
此时
3
x(30-x)=216
3
,解得x=12或x=18,
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低.…14分.
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