（2012•浦东新区一模）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上

Question

（2012•浦东新区一模）世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S的矩形AMPN健身场地，如图点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上，已知∠ACB=60°且|AC|=30米，|AM|=x，x∈[10，20]．
（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为(37k)/(√(S))，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为(12k)/(√(S))（k为正常数），求总造价T关于S的函数T=f（S）；试问如何选取|AM|的长使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

Answer 1

（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30-x，∠PCM=60°
∴|PM|=|MC|tan∠PCM=√(3)（30-x），…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=√(3)x（30-x），x∈[10，20]…4分
于是200√(3)≤S≤225√(3)为所求．…6分
（2）矩形AMPN健身场地造价T₁=37k√(S) …7分
又△ABC的面积为450√(3)，即草坪造价T₂=(12k)/(√(S))(450√(3)−S）…8分
由总造价T=T₁+T₂，∴T=25k（√(S)+(216√(3))/(√(S))），200√(3)≤S≤225√(3)．…10分
∴T=25k（√(S)+(216√(3))/(√(S))），200√(3)≤S≤225√(3)
∵√(S)+(216√(3))/(√(S))≥12√(√(3))，…11分
当且仅当√(S)=(216√(3))/(√(S))即S=216√(3)时等号成立，…12分
此时√(3)x（30-x）=216√(3)，解得x=12或x=18，
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分．