建筑工程中的“打桩”是利用重锤的冲击克服泥土对桩柱的阻力，使桩柱插入泥土到达预定深度的过程．如图甲所示，设打桩机重锤的质量为m，桩柱的质量为M．打桩过程可简化如下：开始

Question

建筑工程中的“打桩”是利用重锤的冲击克服泥土对桩柱的阻力，使桩柱插入泥土到达预定深度的过程．如图甲所示，设打桩机重锤的质量为m，桩柱的质量为M．打桩过程可简化如下：开始时，桩柱下端在地表面没有进入泥土，提升重锤到距离桩柱上端h高度后使其自由落下，重锤撞击桩柱上端，经极短时间的撞击使两者以共同的速度一起向下移动一段距离后停止．然后再次提升重锤，重复打桩过程，逐渐把桩柱打到预定深度．设桩柱向下移动的过程中泥土对桩柱的阻力f的大小与桩柱打入泥土中的深度x成正比，其函数表达式f=kx（k为大于0的已知常量），f-x图象如图乙所示．已知重力加速度大小为g．
（1）求重锤与桩柱第一次碰撞过程中损失的机械能；
（2）在解决一些实际问题时，有时为了简化问题，需要忽略一些数值相对较小的量，这对最终的计算结果并没有太大的影响．如在（1）问中，我们忽略了重锤所受重力，可用竖直方向动量守恒定律处理问题．同样，在分析桩柱进入泥土的过程中，有时也可以忽略重锤和桩柱所受的重力．请你说明在重锤撞击桩柱效果相同的条件下，由于忽略重锤和桩柱所受的重力带来计算结果的差异，对重锤撞击桩柱后一起进入泥土中的深度的计算结果差异的影响．
（3）如果不计桩柱下移过程重锤和桩柱所受重力的影响，设每次提升重锤距桩帽的高度均为h，求经过三次撞击后铁桩被打入泥土的深度．

Answer 1

（1）碰撞前瞬间重锤速度：v=√(2gh)
取竖直向下方向为正方向，由竖直方向动量守恒有：
  mv=（M+m）v_共
即  m√(2gh)=(M+m)v共
得：v共=(m√(2gh))/((M+m))
因此损失的机械能：△E=(1)/(2)mv2-(1)/(2)(M+m)

v

2 共

=(1)/(2)m•2gh-(1)/(2)(m2•2gh)/((M+m))=(Mmgh)/((M+m))
（2）每次重锤的撞击会产生相同的初动能，若忽略重锤和桩柱的重力，则相同的初动能使得每次克服阻力做功也相同；若没有忽略重锤和桩柱的重力，则由于每次撞击桩柱下降的深度不同，阻力做功也不同，计算会更加复杂．
（3）由于每次提升重锤距桩帽的高度均为h，每次碰撞后瞬间的速度均为v_共，
设三次打击后共下降x，则由图象可知，克服阻力做功W=(1)/(2)kx²
由能量守恒定律得：
  3×(1)/(2)(M+m)

v

2 共

=(1)/(2)kx2
解得，经过三次撞击后被打入泥土的深度：x=√((6m2gh)/((M+m)k))．
答：
（1）重锤与桩柱第一次碰撞过程中损失的机械能是(Mmgh)/(M+m)．
（2）没有忽略重锤和桩柱的重力，则由于每次撞击桩柱下降的深度不同，阻力做功也不同，计算会更加复杂．
（3）经过三次撞击后铁桩被打入泥土的深度为√((6m2gh)/(k(M+m)))