如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．（1）求m的值及C点坐标；（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．①当四边形PBQC

Question

如图，二次函数y=-x²+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点．

（1）求m的值及C点坐标；
（2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②点P的横坐标为t（0<t<4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

Answer 1

（1）将B（4，0）代入y=-x²+3x+m，解得，m=4，
∴二次函数解析式为y=-x²+3x+4，
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．

（2）①如图，∵点P在抛物线上，
∴设P（m，-m²+3m+4），
当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上，
∵B（4，0），C（0，4）
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，
∴m=-m²+3m+4，
∴m=1±√(5)，
∴P（1+√(5)，1+√(5)）或P（1-√(5)，1-√(5)）．

②如图，设点P（t，-t²+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC与D，交x轴与E；
过点C作l的垂线交l与F，
∵点D在直线BC上，
∴D（t，-t+4），
∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为y=-x+4，
∵PD=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，BE+CF=4，
∴S_{四边形PBQC}=2S_△PCB=2（S_△PCD+S_△PBD）=2（(1)/(2)PD×CF+(1)/(2)PD×BE）=4PD=-4t²+16t，
∵0<t<4，
∴当t=2时，S_{四边形PBQC最大}=16