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如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M.(1)求这条抛物线的解析式;(2)P为
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如图,在平面直角坐标系中,点A、B在x轴上,点C、D在y轴上,且OB=OC=3,OA=OD=1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点,直线AD与抛物线交于另一点M.

(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移
个单位后得到的抛物线的解析式.

(1)求这条抛物线的解析式;
(2)P为抛物线上一动点,E为直线AD上一动点,是否存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移
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▼优质解答
答案和解析
(1)根据题意得,A(1,0),D(0,1),B(-3,0),C(0,-3).
抛物线经过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3),则有:
,
解得
,
∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.
(2)存在.
△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形:
①以点A为直角顶点.
如解答图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F.
∵OA=OD=1,则△AOD为等腰直角三角形,
∵PA⊥AD,则△OAF为等腰直角三角形,∴OF=1,F(0,-1).
设直线PA的解析式为y=kx+b,将点A(1,0),F(0,-1)的坐标代入得:
,
解得k=1,b=-1,
∴y=x-1.
将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得,x2+2x-3=x-1,
整理得:x2+x-2=0,
解得x=-2或x=1,
当x=-2时,y=x-1=-3,
∴P(-2,-3);
②以点P为直角顶点.
此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上.
过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在;
因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合.
∴P(-3,0);
③以点E为直角顶点.此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上,即P(-3,0);
综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形.点P的坐标为(-2,-3)或(-3,0).
(3)抛物线的解析式为:y=x2+2x-3=(x+1)2-4.
抛物线沿射线AD方向平移
个单位,相当于向左平移1个单位,并向上平移一个单位,
∴平移后的抛物线的解析式为:y=(x+1+1)2-4+1=x2+4x+1.

抛物线经过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3),则有:
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解得
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∴抛物线的解析式为:y=x2+2x-3.
(2)存在.
△APE为等腰直角三角形,有三种可能的情形:
①以点A为直角顶点.
如解答图,过点A作直线AD的垂线,与抛物线交于点P,与y轴交于点F.
∵OA=OD=1,则△AOD为等腰直角三角形,
∵PA⊥AD,则△OAF为等腰直角三角形,∴OF=1,F(0,-1).
设直线PA的解析式为y=kx+b,将点A(1,0),F(0,-1)的坐标代入得:
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解得k=1,b=-1,
∴y=x-1.
将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得,x2+2x-3=x-1,
整理得:x2+x-2=0,
解得x=-2或x=1,
当x=-2时,y=x-1=-3,
∴P(-2,-3);
②以点P为直角顶点.
此时∠PAE=45°,因此点P只能在x轴上或过点A与y轴平行的直线上.
过点A与y轴平行的直线,只有点A一个交点,故此种情形不存在;
因此点P只能在x轴上,而抛物线与x轴交点只有点A、点B,故点P与点B重合.
∴P(-3,0);
③以点E为直角顶点.此时∠EAP=45°,由②可知,此时点P只能与点B重合,点E位于直线AD与对称轴的交点上,即P(-3,0);
综上所述,存在点P,使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形.点P的坐标为(-2,-3)或(-3,0).
(3)抛物线的解析式为:y=x2+2x-3=(x+1)2-4.
抛物线沿射线AD方向平移
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∴平移后的抛物线的解析式为:y=(x+1+1)2-4+1=x2+4x+1.
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