（2014•邳州市二模）如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；（2）经探究可知，△BCM与

Question

（2014•邳州市二模）如图，抛物线y=mx²-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示）及A、B两点的坐标；
（2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出此时m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=mx²-2mx-3m=m（x-1）²-4m．
∴M（1，-4m）．
当y=0，mx²-2mx-3m=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；       
           
（2）当x=0时，y=-3m，
∴C（0，-3m）．
∴S△ABC＝(1)/(2)×2×|−3m|＝6m．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=1，BD=2，MD=4m．
∴S_△BCM=S_BDM+S_OCMD-S_△OBC=(1)/(2)×2×4m+(1)/(2)(3m+4m)×1−(1)/(2)×3×3m＝3m．
∴S_△BCM：S_△ABC=1：2．              

（3）过点C作CN⊥DM于点N，则CM²=m²+1，BC²=9m²+9，BM²=16m²+4．
①当∠BMC=90°时，CM²+BM²=BC²，即1+m²+4+16m²=9m²+9，
解得：m1＝(√(2))/(2)，m2＝−(√(2))/(2)（舍去）．
②当∠BCM=90°时，BC²+CM²=BM²，即9m²+9+m²+1=16m²+4．
解得：m₁=1，m₂=-1（舍去）．
③当∠CBM=90°时，BC²+BM²=CM²，即9m²+9+16m²+4=m²+1．
此方程无解．
综上所述，存在m＝(√(2))/(2)或m=1，存在使△BCM为直角三角形的抛物线．