（1）在建筑砂石料产地或粮库常将颗粒输送到高处落下在水平地面自然堆积成圆锥，其示意图如图所示；表格记录了一次在实验室中用干砂子模拟砂堆所测量的数据，表格中H为圆锥高度，L

Question

（1）在建筑砂石料产地或粮库常将颗粒输送到高处落下在水平地面自然堆积成圆锥，其示意图如图所示；表格记录了一次在实验室中用干砂子模拟砂堆所测量的数据，表格中H为圆锥高度，L为圆锥底部直径．
 

H（cm）	4	8	10	12	14	20
L（cm）	50	50	50	60	70	100

试简要解释数据表格所反映的物理现象并求砂子间的平均摩擦因数．
（2）现需将总体积为V且颗粒间摩擦因素为μ的砂子在水平平整场地中自然堆放，写出砂堆所需底部最小面积 S_min的表达式．（圆锥体积公式(1)/(3)πr²h ）

Answer 1

（1）H<10cm时，底部圆直径未见变化，沙堆的倾角不断增加，反映了漏下的沙子在表面上的堆积而没有整体下滑，说明倾角过小，处于表面层的沙子满足tanα<μ的关系；
H>10cm阶段，底部圆直径与沙堆高度成正比，说明沙堆倾角保持不变，漏下的沙子沿着表面向下滑动，表面的沙子满足：tan>μ，沙石间动摩擦因数μ基本不变，沙堆倾角将维持在最大角α_m；
考虑恰好不滑动的临界情况，表面沙石受重力、支持力和最大静摩擦力，根据平衡条件，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα=(H)/((L)/(2))=(12)/((1)/(2)×60)=0.4；
（2）当动摩擦因数为μ时，最大静摩擦力等于重力的下滑分力，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα
结合几何关系，有：
tanα=(H)/((1)/(2)L)=(2H)/(L)    ①
故最大面积为：V=(1)/(3)SminH=(1)/(3)×π((L)/(2))2×H=(πL2H)/(12)  ②
联立解得：
Smin=

3	(36πV2)/(μ2)

答：砂子间的平均摩擦因数为0.4；
（2）砂堆所需底部最小面积 S_min的表达式为Smin=

3	(36πV2)/(μ2)

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