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(1)原题呈现如图,要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?解决问题:请你在所给图中画出泵站P的位置,并保
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(1)【原题呈现】如图,要在燃气管道l上修建一个泵站分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短? 解决问题:请你在所给图中画出泵站P的位置,并保留作图痕迹; (2)【问题拓展】已知a>0,b>0,且a+b=2,写出 m=
(3)【问题延伸】已知a>0,b>0,写出以
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答案和解析
(1)作A关于直线l的对称点A′,连接A′B交直线l于P,连接AP,则泵站修在管道的P点处,可使所用的输气管线AP+BP最短.理由如下: 在直线l上任取一点E,连接AE、BE、A′E, ∵A、A′关于直线l对称, ∴AP=A′P, 同理AE=A′E, ∵AP+BP=A′P+BP=A′B, AE+BE=A′E+BE>A′B, ∴AP+BP<A′E+BE, ∵E是任意取的一点, ∴AP+BP最短; (2)作线段MN=2,过M作MN的垂线段MA,使MA=1,过N作MN的垂线段NB,使NB=2,且A,B在MN异侧, 那么m表示线段MN上任意一点到A的距离与这一点到B的距离之和, 根据两点之间线段最短可知,这一点在直线AB上时,距离最小. 连接AB,交MN于P,则此时m的最小值为线段AB的长. 过B作AM的垂线,交AM的延长线于点C. 在Rt△ABC中,∵AC=1+2=3,BC=2, ∴AB=
故m的最小值为
(3)作一个长方形ABCD,设AB=2b,AD=2a,取AB中点E,AD中点F,连接EF,FC,CE,得△EFC, 则
S △CEF =S 长方形ABCD -S △AEF -S △CDF -S △CEB =2a•2b-
=4ab-
=
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