有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）。（1）若希望

Question

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）。

（1）若希望点到三镇距离的平方和最小，则P应位于何处？
（2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

（1）由题设条件a>b>0，设P的坐标为（0，y），则P至三镇距离的平方和为

=
所以，当 时，函数 取得最小值
答：点P的坐标是 。
（2）记
P至三镇的最远距离为
由 解得
记
于是
当 ，即 时，
因为 在[ 上是增函数，而 在 上是减函数
所以 时，函数 取得最小值
点P的坐标是
当 ，即 时，因为 在[ 上当y=0函数取得最小值b，
而 在 上是减函数，且 ，
所以 时，函数 取得最小值
答：当 时，点P的坐标是
当 时，点P的坐标是 ，其中 。