一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在t1时刻测得它的影长为4米，在t2时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在t1、t2这两个时刻该球形物体

Question

一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在t₁时刻测得它的影长为4米，在t₂时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在t₁、t₂这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（　　）

A．1：1
B．√(2)：1
C．√(3)：1
D．2：1

Answer 1

如图，
AC为太阳光线与⊙O相切，则AC=AB=m，
在t₁时刻，
设CD=x，则AD=2x，半径为R，
在Rt△ACD中，x²+4x²=m²，解得x=(√(5))/(5)m，
∴OH=BD=m-2×(√(5))/(5)m，CH=(√(5))/(5)m-R，
在Rt△OCH中，R²=（m-2×(√(5))/(5)m）²+（(√(5))/(5)m-R）²，
解得(2R)/(m)＝2(√(5)−2)．
在t₂时刻，设球的影子长为：n，同理可得：(n)/(2R)＝2(√(5)−2)，
设在t₁、t₂这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆的长轴长分别为为2a，2a′，短轴长为2b，2b′
对于椭圆而言，即(2a)/(2b)＝(m)/(2R)或(2a′)/(2b′)＝(2R)/(n)；
而椭圆的离心率(c)/(a)＝√(1−(b2)/(a2))，
根据在t₁、t₂这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆的短轴与长轴的比值相等，
∴在t₁、t₂这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为1：1，
故选A．