近年，植被的严重破坏导致我国北方“沙尘暴”频发，现将沙尘上扬后的情况简化如下：风速竖直向上，设为v，沙尘颗粒上扬后悬浮在空中（视为静止），此时风对沙尘的作用力等效于

Question

近年，植被的严重破坏导致我国北方“沙尘暴”频发，现将沙尘上扬后的情况简化如下：风速竖直向上，设为v，沙尘颗粒上扬后悬浮在空中（视为静止），此时风对沙尘的作用力等效于沙尘以速度v在静止的空气中运动时所受到的阻力f，且f=aρAv ² ，式中a为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，ρ为空气密度，已知a=0.5，地面空气密ρ ₀ =1.2 kg/m ³ ，沙尘颗粒为球形，密度ρ _沙 =3×10 ³ kg/m ³ ，半径R=0.24 mm，（球的体积公式为V=4/3πR ³ ），重力加速度g取10 m/s ² ，且不考虑重力加速度随高度的变化。
（1）求发生沙尘暴时地面附近的最小风速（方向向上）；
（2）若空气密度ρ随高度h变化的关系为ρ=ρ ₀ （1－kh），常量k=1.2×10 ^-3 m ^-1 ，ρ ₀ 为地面空气密度，当竖直向上的风速为5 m/s时，求沙尘扬起后悬浮的最大高度。

Answer 1

（1）沙尘悬浮时受力平衡：mg=f

由题意知： ，
联立以上四式得：
代人数据解得：v=4 m/s
（2）设最大高度为h，沙尘悬浮时受力平衡：mg=f

由题意知：f=αρAv ² ，A=πR ² ，p=ρ ₀ （1－kh）
联立各式并代入数据，解得v=5 m/s时，h=300 m